Platon'u Kızdırmayalım

Kuantum Mekaniğinde Ölçülebilirler, Özdurumlar ve Olasılıklar

2010-06-06T12:29:00.013+03:00

Bu yazıda kuantum mekaniğinin temel formülasyonunu matematiksel detaylara boğulmadan anlatmaya çalışacağım. Temel olarak anlaşılmasını umduğum konu bir ölçümün yapılmasının ve ölçüm sonucunun elde edilmesinin kuantum mekaniksel olarak nasıl bir sürece karşılık geldiği. Bu yazıdan geleceğe yönelik beklentim ise, bu blogda kuantum mekaniğinin başka ilginç sonuçlarına değineceğim yazılarımın anlaşılması için temel teşkil etmesi.

Özdeğer problemi

Kuantum mekaniğinde ölçülebilirler, belirli matematiksel özellikleri sağlayan operatörlerle (Kendine eşlenik (Self-adjoint / Hermitian) matrisler) ifade edilirler ve bu operatörlere ilişkin özdeğer/özvektör problemleriyle anlam kazanırlar. A operatörüne ilişkin bir özdeğer problemi, U, A’nın bir özvektörü olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanır:

A U = λ U (1)

Yukarıdaki denklemin matematiksel anlamı şudur: A operatörü, U’ya etkidiğinde, U değişmeden kalmakta ve λ sayısını vermektedir. Bir başka deyişle U, A’nın λ özdeğerine ilişkin özvektörüdür. Eğer A bir ölçülebilire, örneğin toplam enerji, ilişkin bir operatör olsaydı; (1) denkleminin kuantum mekaniksel yorumu şu olacaktı: U durumundaki bir parçacık üzerinde A ölçümü yapıldığında “kesin olarak” λ bulunmaktadır. Örneğin A toplam enerji operatörü olsaydı, U durumundaki bir parçacığın toplam enerjisinin kesin olarak λ olduğu sonucu çıkardı.

Dalga fonksiyonu ve olasılıklar

Kuantum mekaniğinde parçacıklar kendilerine karşılık gelen dalga fonksiyonlarıyla ifade edilirler. Şimdilik dalga fonksiyonunun nasıl elde edildiği sorusuna takılmadan, basitlik için, bir parçacığın bir dalga fonksiyonuna sahip olduğunu varsayarak bu dalga fonksiyonuna ilişkin yorumlarda bulunacağım; daha sonra da bu kavramları genelleme yoluna gideceğim.

Bir ölçülebilire karşılık gelen B operatörünün, iki özdeğeri λ₁ ve λ₂ olsun. Bir başka deyişle, öyle bir fiziksel kavram olsun ki, o fiziksel kavram için λ₁ ve λ₂ haricinde bir ölçüm sonucu mümkün olmasın. B operatörünün λ₁ özdeğerli normalize (normalize: boyu 1 olan) özvektörü U₁; λ₂ özdeğerli normalize özvektörü de U₂ olsun. Bu durumda B operatörü için (1) denklemine benzer iki bağıntı yazmak mümkündür:

B U₁ = λ₁ U₁ ve B U₂ = λ₂ U₂ (2)

Bir parçacığın içerisinde bulunduğu kuantum durumuna karşılık gelen dalga fonksiyonunun B operatörünün tanımladığı uzaydaki ifadesi aşağıdaki gibi olsun:

Ψ = pU₁ + rU₂ (3)

Şekil 1 B uzayında, Ψ dalga fonksiyonu

(3) ifadesinin matematiksel anlamı şudur: Ψ dalga fonksiyonu, özvektörleri U₁ ve U₂ olan uzayda bu özvektörlerin p ve r ağırlıklarıyla çarpılarak toplanmasıyla ifade edilir. Şekil 1’de bu söylemi görselleştirmeye çalıştım. Görüldüğü gibi Ψ dalga fonksiyonu B’nin tanımladığı uzayda bir noktayı işaret etmektedir. Şimdi bu durumun kuantum mekaniksel yorumunu yapalım: Dalga fonksiyonu (3)teki gibi olan bir parçacık üzerinde B ölçümü yapıldığında, p² olasılıkla λ₁, r² olasılıkla λ₂ bulunur. Yukarıda B ölçümünun λ₁ ve λ₂ dışında bir sonucunun mümkün olmadığını söylemiştik. Bu durum p ve r üzerinde yeni bir kısıtlamaya sebep olacaktır:

p² + r² = 1 (4)

Bu kısıtlamanın mantığı açıktır: ölçüm sonuçlarına ilişkin olasılıkların toplamı 1’dir. Sonuç olarak, “dalga fonksiyonu”nun bir operatörün tanımladığı uzaydaki normalize özvektörlerin kareleri ölçüm olasılıklarına karşılık gelen katsayılarla çarpılarak toplanmasıyla elde edildiğini ve parçacığın “kuantum durumunu” ifade ettiğini söyleyebiliriz.

Buraya kadar ölçüm sonucunda yalnızca iki değer elde edilebilen kısıtlı bir örnekten bahsettik. Gerçekte böyle durumlar olmakla beraber (örneğin spin-1/2 bir parçacık olan elektronun bir doğrultudaki (x, y veya z) spin açısal momentumu), ölçüm sonuçlarının daha fazla sonlu (Örnek: bir atoma bağlı durumdaki bir elektronun enerji seviyeleri) ya da sonsuz (Örnek: konum) değeri mümkün olabilir. Genel olarak bir ölçülebilire ilişkin C operatörünün λ_i özdeğerli özfonksyionu V_i olsun. C’nin toplam n tane özfonksiyonu olduğunu düşünürsek C’nin tanımladığı uzaydaki dalga fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilir:

Bu durumda olasılıkların sağlaması gereken denklem aşağıdaki gibi olacaktır:

Bu ifadelerin kuantum mekaniksel yorumu ise şöyledir: Φ dalga fonksiyonuna sahip olan bir parçacığın üzerinde C ölçümü yapılırsa p_j² olasılıkla λ_j sonucu elde edilir.

Girişte de belirttiğim gibi, bu yazının temel amacı, matematiksel detayları asgari düzeyde tutarak kuantum mekaniksel olarak bir ölçümün ne ifade ettiğini formalize etmekti. Şu noktada konunun biraz soyut kaldığının farkındayım. Bir sonraki yazım, muhtemelen, ölçüm ve dalga fonksiyonunun elde edilişine ilişkin iyi bir örnek olması aynı zamanda da şaşırtıcı sonuçları içerisinde barındıran Stern-Gerlach deneyi üzerine olacak.

Sevgiler,

Burak

Neden geometri bilmeyen girebilir?

2010-02-26T12:01:00.002+02:00

“Matematik Allah gibidir, sorgulanamaz”

Cümle Aruz hocanın bir arkadaşına ait, Burak'ın da ilk yazısında bahsettiği, matematikteki a priori bilgilere dair bu lafı ben etsem pek mutlu olurdum, bazı cümleleri ilk kez kurma fırsatını kaçırdım diye üzüldüğüm pek sık olmuyor.

A priori bilgiyi herhalde deneyimden yoksun bilgi olarak tanımlayabilirim, karşısında “a posteriori” durur. Şimdi aklıma gelen en basit örnek: “iki noktadan bir doğru geçer” – bu, öklid geometrisinin a priori bilgisidir işte. Latinceden ingilizceye çevirisi şu şekilde: “Let it be granted that a straight line may be drawn from any one point to any other point.”[1] Yani “take it for granted” işin özü. Sorgulamayacaksın. İnsanlık olarak başka “take it for granted” aldığımız ne var? Din. Evet.

Neyse, tümden gelmek geometrinin doğasında var, sanki bir adam tepemizde “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir! Hadi bakayım şimdi tüm sorunlarınızı bu ön kabulle çözün!” diyor. Eyvallah diyoruz biz de, ya ne yapacaktık? Adam koskoca öklid?

Bak şimdi, böyle düşünürken Comte’un bir süre sonra pozitivizmi din ilan etmesini daha az yadırgar oldum. Neyse Descartes da az değil, bu geometri kafası günlük hayatta da geçerlidir diye yola çıkıyor aslında temelde. Onun a priorisi ise bildiğimiz gibi “Düşünüyorum, öyleyse varım.”

Bir de tabi; ha, düşünüyorum → varım ha, χ → y.

Başlıktaki sorunun cevabına devam edeceğim.

[1] Euclid, “The elements of Euclid”, 1838.

Neden geometri bilmeyen giremez?

2010-01-11T23:21:00.002+02:00

Sevgili ablam Burçe Budanur'la farklı bilimsel konularda kendimizce bir şeyler yazmak için açtığımız bu bloga adres olarak "Geometri bilmeyen giremez" sözünü seçmemizin elbette ki bir sebebi var. Bu ilk yazıda bu konuyu açıklığa kavuşturacağım.

Platon okulunun kapısında, "Geometri bilmeyen giremez" yazmaktaydı. Bu eleme mekanizmasını anlamak için geometrinin yöntem olarak neyi temsil ettiğini algılamak önemlidir. Geometri ilk defa Öklid tarafından; bir takım aksiyomlar ve tümdengelimler şeklinde ifade edilmiştir.

Aksiyom: Doğruluğu ispatlanmaya gerek duyulmayan ya da doğruluğu kabul edilen önerme.

Öklid'in aksiyomları [1]:

1- Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.

2- Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit olur.

3- Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur.

4- Birbiriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.

5- Bütün parçasından büyüktür.

Öklid, Ögeler kitabında, bu aksiyomlara başka bazı tanım ve postulalar ekler; daha sonra da bu aksiyom, tanım ve postulalar çerçevesinde tümdengelimlerle teoremlerini ispatlar.

Öklid geometrisiyle ilgili detaylara girmeden karşıt durumu bir örnekle ele alalım. Sonuçtan nedenlere doğru gidişte olaylara nedenler arar, bulduğumuz nedenleri kanıtlara dayandırırız. Düzgün tanımlanmamış bir problem için bu geri dönüş süreci bir çıkmazla son bulur; bilim kurgu serisi Dune'un 3. kitabında Jessica bu durumu şöyle ifade ediyor [2]:

"Bütün kanıtlar kaçınılmaz olarak kanıtlanamayacak önermelere götürür! Bildiğimiz her şeyi, onlara inanmak istediğimiz için biliriz."

İşte biz, inanmak istemeyenleriz. O yüzden bu çelişkinin içinden sıyrılabilmek için aksiyomlara ihtiyaç duyuyoruz. Sınırları düzgün çizilmemiş bir problemi üzerinde konuşmaya değer bulmuyoruz. Bu yüzden de, ne yazık ki, geometri bilmeyenlerle iletişim kurmakta güçlük çekiyoruz.

Sevgiler,

Burak Budanur

[1] Matematik Felsefesi, Stephen F. Barker, 1964, Çev. Yücel Dursun, İmge Kitabevi Yayınları 2003, s. 41

[2] Dune Çocukları, Frank Herbert, 1976, Çev. Dost Körpe, Kabalcı Yayınevi 2008, s. 202